> 欠けた根っこを残しておくことは大丈夫なのでしょうか？
大丈夫だと思います。
> その欠けた根っこが原因で痛みが出たり、腫れてしまうことなどが起こる可能性はあるのでしょうか？
可能性はゼロではありません。
>
親知らずを抜いた後は
親知らずのあった穴は徐々に新しい骨が出来て埋まっていくと聞いたのですが、今回のようなケース場合、今、残っている欠片は骨に埋まると考えて良いのでしょうか？
その通りです。
> 10年程経ってからそのかけらどんどん上がってきて
歯茎から出てくることがあると、本日、
抜歯した歯医者で説明を受けたのですが、上記の質問で残した欠片が骨に埋まってしまうのであれば、骨を突き破って
歯茎から出てくるのでしょうか？そうであれば少し不自然に感じるので気になります。
そういう可能性もゼロではありません。
コロネクトミーという言葉で検索してみてください。
根っこをわざと残して終わる方法です。
2回法の
親知らず抜歯と検索してみてください。
そういう方法もあります。
今の時点ではほとんどの場合何も起こらずに骨に埋もれてしまって吸収するか、そのまま何も起きないことが予想されるので現状でいいですが、感染するリスクもゼロではないですし（たとえ全部抜けていても感染リスクはあります。）、歯が移動してくる可能性もあります。
ただ、それはその時に対応すればいいだけの話で、その処置は今残っている根っこを取るよりもずっと楽なものになると思います。
